阪大生が教える阪大数学二次対策

みなさん、こんにちは、こんばんは！
管理人のけいです！

今回は阪大数学の二次対策勉強法について書いていきます。

阪大数学は他の国公立同様に難しい問題が揃っています。

受験生のレベルも非常に高く、まさに1点を争う試験になることでしょう。

私は2014年度の入試で、幸運にも阪大に入学することができました。

このときに私がやっていた数学の勉強方法をみなさんとシェアしたいと考えて、この記事を書きました。

参考になれば嬉しいです。

まずは阪大数学の範囲について確認

2015年度から旧課程から新課程に変化し、数学の各分野で学ぶ内容が少し変わりました。

まずはそこから確認しましょう。

ピンクマーカーが移動してきた範囲、緑マーカーが新しく追加された範囲です。

長い間扱われてきた数C範囲が2015年に消滅しました。
この範囲はかなり複雑な問題や理解しにくい問題が多かったため、個人的には勉強しやすくなったと思います。

行列や式と曲線の範囲は難易度の差が激しく、勉強するのが大変でした。
行列は大学の数学で扱いますので、それまでお楽しみです！

まあ、あまり楽しくはないので、よほどの数学好きでない限りはテンションあがりませんが。

数Aには「整数の性質」が新しく追加されたことになっていますが、今までも頻繁に出題されていましたね。

教科書には載っていないのに出題される分野として、私達受験生を困らせていました。

さらに、「データ分析」の分野が今回、正式に採用されました。

データ解析というと、ほとんど授業で扱われず、「時間があれば読んどいて～」レベルの問題でした。
センター試験でもこの分野の問題を解く人はほとんどいないという、不遇の範囲でした。

最後に「複素数平面」が追加になりました。

複素数については扱ってきましたが、その数字が平面上では何を意味しているかについては考えてきていません。

何人かの数学の先生は、超応用範囲として教えてくれる人もいましたが、入試範囲ではないので解答用紙には書けません。

そのため、背景知識としての扱いでした。
今回は、新しく正式な範囲として採用になり、晴れて解答用紙に書けるようになっています。

大きくまとめると、「行列がなくなって、複素数平面が加わった」ということになります。

続いては、実際の数学の勉強法について紹介していきますね。

阪大数学の特徴

さて、次に阪大数学の特徴を押さえておきましょう。

阪大数学の大きな特徴は、融合問題の多さです。

融合問題とは多分野に渡った問題のことで、1つの範囲だけの知識では解ききることができません。

また、初見の問題がほとんどであり、自分がみたことある問題が出る確率は非常に低いでしょう。

しっかりと各分野の基礎から標準、応用までの問題を解けるようになっておく必要があります。

先ほども述べたような数学データベースを構築しておきましょう。

一見すると、何を使ったらいいか分からない問題が出題される場合もありますね。
こんな問題一度も見たことないぞ！と焦ることもあるでしょう。

それでは、次に阪大の数学を解けるようになるためにはどうしたらいいかについて説明していきます。

予習復習の大切さ

まず初めに最も大切な勉強方法の1つとして「予習、復習」があります。

これはどの教科でも言えることですが、特に数学では重要です。

数学がほかの教科よりも大変な理由を説明していきます。

数学は大変で他の教科よりも予習復習が必要な理由

私は予習復習が欠かせない理由として3つあると思います。

1つずつ見ていきましょう。

数学は範囲が広い

数学の範囲を最初に確認してもらったと思いますが、範囲が非常に広いです。

物理なら力学、電磁気、熱力学、波動の4種類。
化学なら理論化学、無機化学、有機化学の3種類。
英語は長文読解、和訳、英訳、意見論述の4種類です。

しかし、数学の場合には数Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、A、Bの5種類もあります。

5種類あるということは、5個分の思考回路を作る必要があるということですね。

1つの分野が増えることで、勉強時間も格段に増えます。

実際、どの分野もしっかり勉強する必要があるので、他の教科よりも大変です。

数学は選択問題がない

数学には選択問題がありません。

他の教科を思い浮かべてみてください。

物理、化学、英語は必ず選択肢問題があります。

化学なら「適切な実験器具を下から選べ」
英語なら「下の単語を並び替えて意味の通る文章にせよ」

などですね。

しかし、数学で選択問題を見たことあるでしょうか？
「この数式は何という名前でしょう？」なんて、問題は見たことがありません。

選択肢がない分、数学には記述式問題がほとんどです。

0から解答を作らなければならない問題が多い

選択肢問題がない分、数学では0から解答を記述式で作ります。

阪大の数学の問題は、3枚の白紙の解答用紙が渡され、6問の問題を両面に1問ずつ解答していきます。

まっさらな白紙で、ヒントや誘導などはありません。

答えだけ書く問題もほとんど出ないため、全ての答えを自分の手で導いていく必要があります。

これって、物理や化学と比べてもかなり異常なことです。
物理や化学では、答えだけを回答する問題もありますし、選択肢を選ぶだけの問題もあります。

記述する問題があったとしても、せいぜい3行くらい書けばいい問題がほとんどです。

つまり、数学の解答スタイルだけ他の教科とは全く異なるということです。

以上の3つの理由から数学に対しては、予習、復習をしっかりとする必要があります。

さて、具体的な予習、復習方法について説明していきます。

私が予備校時代に身に着けた予習・復習方法ですので、みなさんの参考になればうれしいです。

復習よりも大切な予習

私の現役時代は、予習を全くやっていませんでした。

予習なんかやっても、特に変わらないし、どうせ授業で説明してくれるからいいかと考えていたんです。

予習をやるときは限られていて、練習問題を次の授業前に黒板に書いておくように言われた時くらい。

それ以外は、ただ授業に出て、黒板に書かれたことをただただ書き写していました。

わからないこともないですし、疑問も特になかったのでこれでいいんだと思っていました。

しかし、その考えは全くの間違いであったということに気づきました。
気づいたのは浪人生活を始めてからなので、かなり遅いです。

予備校に入ってすぐ、ある先生がこんなことを言っていました。

「予習は大切です。私の授業は週に3回ありますから、だまされたと思ってまずは1週間だけ予習をしてみてください。そして、次の週は予習なしでいいです。最後に3週目に予習が必要かどうかを考えてみてください」

当時の私は、現役時代の勉強スタイルをなんとかして変えなくてはならないと思っていましたので、本当に騙されたと思って先生の指示に従ってみました。

素直に最初の1週間、予習を続け、次の週の1回目の授業を受けた時に気づきました。

「これ、予習ないと聞いててもよくわからんわ」

そうなんです。
予習をしていないと、授業で扱っている問題を解説してもらっていたとしてもなかなか頭に入ってきません。

先生の解法を見ているだけですと、黒板を写すことだけに必死で、なかなか理解が深まりませんでした。

予習した時には、あらかじめ疑問点をメモしておき、「この部分は重点的に聞こう」「ここは自分の解法があっているか確かめよう」と意識しながら授業を受けることができていました。

予習があることによって授業に対して能動的に臨めるようになっていたのです。

一方で予習がないまま、ただ黒板を写すだけですと受動的になってしまいます。

能動的か受動的かは非常に重要で、授業の理解度が大きく変わることに気づきました。

私はここで初めて、数学の予習をしっかりしていこうと思いました。

数学の予習方法

私がやった予習方法は

の3つです。

数学予習ノートを用意する

私は予習ノートを作りました。

ここには、予備校で次の授業で扱う問題を解きます。
初見の問題を何も見ないで、0から解いていきます。

ノートの見開きを半分に分け、左側に自分の解答を作っていきます。

ここで、10分以上手が止まった時には強制的に解答を中断していました。
10分以上手が止まったら、おそらくそれ以上考えても解答は浮かんできません。

わからない状態で時間だけ使ってしまうのはもったいないので、わからないときにはスパッと解答をやめていました。

疑問点を洗い出す

初見の状態で解答作成が終わったら、次に疑問点を洗い出します。

「ここはどんな公式を使えばよいのか？」
「二通りの解答方法が考えられるが、どっちの方がいいのか？」

などの疑問を出しておきます。

この疑問点を出しておくことで、授業を能動的に受けることができます。

先生が説明していく段階で「あ、ここは自分が疑問に思っていた点だ！よし、ちゃんと聞こう」と考えながら話を聞けます。

できるだけ、1問に1個の疑問点を出しておくといいでしょう。

類題を探す

最後の予習の仕上げは「類題を探すこと」です。

類題探しはかなり大事です。

類題は自分が使っている問題集やほかの参考書から探してきました。

似ている問題を一緒にマークしておくと、授業で扱った問題を元にして解けるようになる問題が増えますよね。

また、類題の解答をあらかじめ予習しておくと、先生と問題集の解答方法を比較することができますよね。

さらに、自分の予習とも比較すれば3種類の解答を比較して、どこがよくてどこがだめなのかをチェックすることができます。

私はこれを浪人時代の1年間続けてきて、数学の成績が伸びました。

おそらく、予習のおかげだと思います。

復習も大事

復習は予習、授業の内容を定着させるために重要です。

予習の重要度が10なら復習の重要度は8です。

同じくらい重要ですね。

予習をやって授業も受けたのに復習をせずに放置していたら、学んだ知識をしっかり定着させることができません。

先生が授業中に言った重要なポイントを覚えてられるのは、せいぜいその日の夕方から夜までです。

つまり、予習はできるだけ早くやっておくといいです。

私はその日に終わらせていました。
他の科目の復習があっても、数学だけはその日のうちにやっていました。

1回復習をすると定着度合いがかなり違います。
これは、実際にやってみたら実感できると思います。

いや、全然違いますね。

ほんとに。

また、復習は1回だけでなく何回でもやっていいと思います。

復習を1回やった後、2～3日ほど空けてもう一度解いてみてください。

解いてみると、ちゃんとわかって理解したつもりなのになかなかできないんです。
あれ、こっからの変換はどうするんだっけ？

次は何を証明すればいいんだっけ？

など、手が止まってしまうこともあります。

この時、決して自分を責めないでください。
なんで自分はできないんだ、ちゃんと復習できてないじゃないか！

とイライラしないでくださいね。

これはしょうがないことです。

人間は忘れる生き物ですし、そこまで物覚えもよくないです。
人間である以上あきらめて、自分が忘れてしまったことを受け入れましょう。

私も最初は「俺はなんでこんなに覚えが悪いんだ」と思っていました。

しかし、だんだんと考え方を変えていって「自分のできないポイントを見つけることができた」とプラスに考えるようにしていました。

こうすることで、2回目の復習をやる意義を見出しやすくなるので、さらに復習をしたくなっていきます。

2回目が終われば3回目、4回目と何回でもやっていいと思います。

復習をやる間隔は少しずつ伸ばしていくと、定着しやすくなります。

2回目は3日後、3回目は1週間後、4回目は2週間後とどんどん伸ばしていき、完璧に溶けるようになれば、それはあなたに問題の解答がみについた証拠です。

自信を持ってください。

こんな感じで予習、復習をやり、数学の知識を定着させていきましょう。

数学はほかの教科よりも範囲が多く、やることが多いです。

毎回毎回の授業で、レベルアップできるようにするためにも、予習復習を怠らないでくださいね。

時間を意識して解くこと

続いての勉強のポイントは時間を意識して解くことです。

数学の二次試験はほかの教科よりもハードということは先ほど説明しましたね。

解答を0から作ることと、選択肢問題がないことから、時間的にはかなり厳しいです。

そのため、日ごろの練習から時間を常に意識しておく必要があるのです。

問題を見て、この問題には何分かけるか、何分まで考えて分からなかったら飛ばすのか、といった実践的な時間感覚を身につけましょう。

私は予習、復習をするときには必ず時間を決めていました。

これを決めておくことで、時間を意識するようになっていったと思います。

また、問題集を進めるときでも必ず時間を設定しました。

基本的には20分ですが、問題文が長かったり、二次試験レベルの問題のときには30分までかけるようにしていました。

さらに、模試は時間感覚を身に着ける上でとても役に立ちます。

模試は二次試験レベルの問題で構成されていますので、本番さながらに時間を意識しながら問題を解くことができます。

限られた時間で、どうやれば時間を有効活用できるか、高得点を取れるかを常に考えます。

分からない問題は飛ばして、解ける問題を確実に解けるように時間を使いましょう。
また、分からない問題の中でも、ちょっと考えればひらめきそうなものに時間をかけていきます。

こうしていくことで最終的に自分の中での高得点を取れるはずです。

オリジナルテストを作る

しかし、どうしても模試だけでは時間感覚を完璧にするためには機会が少なすぎます。

駿台模試は年に4回しかないですし、阪大実践模試なども年に2回です。

本番の試験に向けて年間で6回しか、練習できないのではなかなか難しいものがありました。

そこで、私がお勧めしたいことは「オリジナルテスト」を作ることです。

オリジナルテストって？と思うでしょう。

オリジナルテストを作っている人は私以外見たことがありません。

ちなみに自分で一から問題を作るのではありませんよ。そんなことやっていたら浪人生活が終わってしまいます。

オリジナルテストを作るということは、問題集や参考書から5～6個の問題をピックアップしてきて、それを1つのテストとすることです。

そして、集めてきた問題を決められた時間で解いていきます。

阪大は5題の問題を2時間半で解くので、1問あたり30分の計算です。

私はこれに従い、5問の問題をいろんなところから集めてきて、2時間半で解いていました。

2時間半で5問解くので、嫌でも時間配分を意識しますよね。

まずは5問の問題をパラパラと見てから、解けそうな問題を探します。

そして、少し考えたら解けそうな問題、全く解けそうになさそうな問題など3つに分類します。

解けそうな問題をまずは20分を目安に解きます。

その後、余った時間を使い、30分を目安に考えたら解けそうな問題に取り組みます。

さらに残った時間で、全く解けそうにない問題にチャレンジして、少しでも点数を上げる努力をします。

こちらも目安は30分に設定し、残りの時間で全体の見直しをしていきます。

時間配分はテスト形式の問題でしか学習できないので、オリジナルテスト作成はおすすめです。

オリジナルテストには何を選べばいいかと悩む人もいると思います。

私は、過去に解いたことがある問題と、全くの初見の問題を2：3の割合で入れていました。

過去に解いたことある問題は、できるだけ1問解くだけでいろんな範囲を復習できるような良問を選びました。

複合問題を選ぶととても良いと思います。

阪大の問題は複合問題が多いとお話ししました。
複合問題の解答に慣れておくのはとても重要です。

また、初見の問題を入れる理由としては、時間内に0から解答を作る過程を体験するためです。

本番の試験では見たことがある問題が出される確率はかなり低いです。

阪大レベルになると、新傾向の問題が出題されやすいです。

このことからも、日ごろから時間内に初見の問題にチャレンジする練習が必要です。

それをテスト形式でやることによって、さらなる学習効率が期待できます。

私はこの方法を夏前から続けていて、数学のレベルを大きく伸ばすことができました。

図を必ずイメージする

数学の問題を解くうえで図をイメージすることは大事です。

例えば3次関数の問題を解くときを考えてみましょう。

ほとんどのみなさんはｘ軸とｙ軸を書き、3次関数の値に応じてだいたいの場所に曲線を描くはずです。

そして、直線との交点を求める場合にも、だいたいの場所に直線を描きますよね。

これは図をイメージすることで問題が解きやすくなるためです。

図を描かずに、図形や曲線の問題を解こうと思ってもなかなか難しいですよね。

このことから、図を描く癖をつけておきましょう。

ここで、1つ私が図を描いたことによって解法がひらめいた体験談をお話しさせてください。

私の体験は阪大入試本番でした。

この問題がいきなり初見で、しかも二次試験本番で出てきたとき、正直私は焦りました。

どこか見たことがあるけど、全く解法が思いつきません。

リミットで無限に飛ばしているので、おそらく極限を使うのは分かりましたが、どうやって解くのかが分かりませんでした。

パッと見で解けなかったので、この問題を「考えたら解けそうな問題」に分類し、いったん後回しにしました。

そして、一通り解けそうな問題を片づけた後、再びこの問題に取り組んでみました。

しかし、やはり解法が浮かびません。
解けそうなのに解けないのが一番悔しいですよね。

そこで、一度、図を描いてみることにしたんです。

球2つが接している図を描いてみて、次に両方の球に1点で接する3個目の球を描いてみました。

そうすると下の様な図を思いついたんです。

そして、これに半径などの条件を加えていったところで、解答がひらめいたんです。

まさに、天から解放が降りてきた感じでした。

全く見当もつかなかった問題に対して、図を描いたことによって解法を思いつくことができたんです。

これは今振り返っても忘れられない瞬間です。

「きた！！！」と思いましたね。

この図さえ描けてしまえば、あとはいつもの公式を当てはめていくだけです。

結局、私はこの第4問をみごとに完答することができました。

振り返ってみれば、図を描くのは当然なんですけど、本番の緊張の中で、しかも時間が限られている中で、解法をひらめくことができたのは、まさに数学を勉強してきた成果が出たといえると思います。

日ごろから図を描いて考えてきた結果が本番で現れました。

この問題をしっかり完答できたことが合格につながったのではないかと今でも思います。

画期的な勉強法「文字を書かない勉強法」

最後に私がやっていた強力な勉強法を紹介させてください。

それは「文字を書かない勉強法」です。

ちょっとイメージしにくいと思います。

説明すると、これは頭の中で解法を思い浮かべて、要点だけを確認し、詳しい計算などは省略して解いていく勉強法です。

従来の勉強方法の問題点

従来の勉強法は、解答を0から作っていきます。
そして、細かい式変形、計算をしながら最後まで解き進めますよね。

もちろん、数学レベルが低いときには、この過程も大事です。
しかし、受験シーズンの後半に入ってくると、計算過程や式変形などはやっても数学能力自体は伸びにくくなっていきます。

数学能力が伸びにくいのにもかかわらず、毎回時間を取られるのはもったいないです。

せっかくの貴重な時間が減ってしまいます。

書かない勉強法のメリット

一方で書かない勉強法では、余計な計算をせず、要点だけを頭に思い浮かべるだけです。

必要とあらばメモ書きをする程度です。

1から解答を作る必要はありません。

このため、短時間の間に数多くの問題に触れることができるのです。

数学の問題は1問あたり短くても20分はかかりますよね。

書かずにやれば5分もかからずに終了させることができます。

そして、すぐに答えを見て、自分の思考過程があっているかをチェックします。

めちゃくちゃ効率が上がるのがわかりますね。

単純計算で4倍です。

書かない勉強をするときの扱う問題は？

書かない勉強をするときには、最低でも1回は解き直しをしたことがある問題にしましょう。

初見の問題との相性はあまりよくないです。

初見の問題を解くときにはしっかりと0から解答を作りましょう。

同じ問題を2回目以降に復習するときには、この方法が有効です。

書かない勉強法を始める適切な時期

この勉強法にはやるべき適切な時期があります。

数学のベースラインが低いのに、この勉強法をやってもなかなか成果が出ません。

ある程度のレベルになってから始めるべきでしょう。

具体的に言いますと、数学の基礎が固まり、全範囲の基礎から標準レベルにかけてはほぼ解けるようになったころが最適だと思います。

数学の基礎ができていれば、計算や式変形などは問題なく進めて行けるはずです。

書かない勉強の必要性

基礎ができてくると、次は発展問題をたくさん解く必要がありますね。

発展問題を初見でいきなり完答できるようになるのはかなり大変なことです。

まずは1回はしっかりと自分の頭で考えて解いてください。

そして、2回目3回目を解き直す時に、問題を見て、答えを見ないで解法が浮かんでくるかをチェックします。

おそらく、1分考えて何も出てこなければ無理なので、1分は考えましょう。

解法の道筋が立ち、何を使うべきかを決めて、解法への流れを思い浮かべてください。

最後までたどり着いたら、すぐに答え合わせをしましょう。

これによって、効率的な復習をすることができます。

また、複数の問題を順番に復習していくことで、短時間で色々な問題に触れることができるのです。

実際、受験後半戦になると、数学のレベルを上げるためにはとにかく数をこなすことが必要になります。

色んな問題を解き、色んな問題の解法に触れることが最も重要だと思います。

数学のレベルを上げるためには？

最後に数学のレベルを上げるために必要なことを書きたいと思います。

私個人の意見では何と言っても「反復練習」です。

同じ問題を何回も解いて、解法を暗記するレベルまで反復します。

そして、頭の中に自分だけの数学データベースを作ってください。

新しい問題と出会ったら、すぐにそのデータベースにアクセスし、過去に似た問題を解いたことはないかを思い起こしてみましょう。

もちろん、必ずヒットするとは限りませんが、似ている問題ならなんとか見つかるはずです。

反復練習の効率を上げるためにも、予習をすることで定着を良くし、復習の時には「書かない勉強法」を使うことで効率を上げます。

効率を上げると、さらにたくさんの問題を解くことができるようになるので、あとはひたすら同じことを繰り返してください。

また、一度解いた問題は解法をスラスラ思い浮かべられるようになるまで反復すると、より確かなデータベースになりますね。

反復が中途半端だと、逆に「これってこっちだっけ？あっちだったかな？」と不安になってしまいます。

本番で余計な不安に襲われないためにも「反復」を繰り返しましょう。

数学の天才なら反復は必要ないでしょう。
私の様な全くの凡人の場合には、ひたすら繰り返し問題を解きながら数学データベースを作って対抗するしかありません。

みなさんはどっちかは分かりませんが、ぜひとも真似をしてみてくれたら嬉しいです。

まとめ

さて、今回は阪大数学の勉強法について紹介してきました。

阪大数学は非常に複合問題が多く、一筋縄では解けない問題が多いです。

それを本番の緊張感の中で解くために必要な勉強方法について紹介してきました。

もちろん、全ての勉強方法がみなさんに合うかは分かりません。

しかし、私が浪人時代にやって「これは効果があった！」と思うものを紹介したつもりです。

一度騙されたと思ってやってみてくださいね！

何か質問があれば、ツイッターやメッセージなどからコンタクトしてください！

最後まで読んでいただきありがとうございました。